1、正多邊形與圓有著密切的關(guān)系：

1)把一個(gè)圓的圓周分成n等份，順次連接各分點(diǎn)所得圖形，即為圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正n邊形的外接圓。

2)正多邊形的相關(guān)概念：正多邊形的中心——是正多邊外接圓的圓心。正多邊形的半徑——是正多邊形內(nèi)切圓半徑。(rn)正多邊形的中心角——是正多邊形的邊所對(duì)的外接圓的圓心角。(αn)

正多邊形的邊心距——是正多邊形的邊到中心的距離。(rn)

3)正n邊形的有關(guān)計(jì)算：;邊an、半徑rn、邊心距rn的關(guān)系：rn2—rn2=()2(勾股定理)

正n邊形的面積：sn=lnrn(ln—正多邊形周長(zhǎng))(邊數(shù)不同僅反應(yīng)在中心角αn的不同)

2、圓內(nèi)接多邊形各邊相等時(shí)為正多邊形;圓外切多邊形各角相等時(shí)為正多邊形.

3、圓內(nèi)接多邊形各角相等且邊數(shù)為奇數(shù)時(shí),此內(nèi)接多邊形為正多邊形;

圓外切多邊形各邊相等且邊數(shù)為奇數(shù)時(shí),此外切多邊形為正多邊形.

4、一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形與其外切正n邊形相似,且相似比等于cos(180°/n);

5、周長(zhǎng)相等的正多邊形與圓相比,圓的面積較大,且多邊形邊數(shù)越多,其面積越接近于圓;

面積相等的正多邊形與圓相比,圓的周長(zhǎng)較小,且多邊形邊數(shù)越多,其周長(zhǎng)越接近于圓.

6、圓是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條;正多邊形也是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸的條數(shù)與邊數(shù)相等.

7、圓也是中心對(duì)稱圖形;正多邊形只有當(dāng)邊數(shù)為偶數(shù)時(shí),它才是中心對(duì)稱圖形.

課后練習(xí)

1、下列命題中，假命題的是( )

A.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.

B.正多邊形的任意兩個(gè)角的平分線如果相交,則交點(diǎn)為正多邊形的中心.

C.正多邊形的任意兩條邊的中垂線如果相交,則交點(diǎn)是正多邊形的中心.

D.一個(gè)外角小于一個(gè)內(nèi)角的正多邊形一定是正五邊形.

2、若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角大于它的一個(gè)內(nèi)角,則它的邊數(shù)是( )

A.3 B.4 C.5 D.不能確定

解析：

外角+內(nèi)角=180

現(xiàn)在外角>內(nèi)角，所以 內(nèi)角<90，外角>90

正n多邊形，有：

(n-2)*180/n<90

2n-4

n<4

只能是 n=3

只能是正三角形

3、同圓的內(nèi)接正四邊形與外切正四邊形的面積之比是( )

A.1: B.1: C.1:2 D. :1

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