一、坐標(biāo)

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸。

數(shù)軸上的點(diǎn)可以用一個(gè)數(shù)來表示，這個(gè)數(shù)叫這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)。

數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)(包括有理數(shù)與無理數(shù))一一對(duì)應(yīng)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。

2、平面直角坐標(biāo)系

由互相垂直、且原點(diǎn)重合的兩條數(shù)軸組成。

橫向(水平)方向的為橫軸(x軸)，縱向(豎直)方向的為縱軸(y軸)，平面直角坐標(biāo)系上的任一點(diǎn)，都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示位置，這對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)就叫這點(diǎn)的坐標(biāo)。

(即是用有順序的兩個(gè)數(shù)來表示，注：x在前，y在后，不能隨意更改)

坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的，每一個(gè)點(diǎn)，都有唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)與之對(duì)應(yīng)。

二、象限及坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)

1、四個(gè)象限

平面直角坐標(biāo)系把坐標(biāo)平面分成四個(gè)象限，從右上部分開始，按逆時(shí)針方向分別叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限(或第Ⅱ象限)、第三象限(第Ⅲ象限)和第四象限(或第Ⅳ象限)。

注：ⅰ、坐標(biāo)軸(x軸、y軸)上的點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限。例 點(diǎn)A(3，0)和點(diǎn)B(0，-5)

ⅱ、平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)發(fā)生改變，則點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)發(fā)生改變;坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度發(fā)生改變，點(diǎn)的坐標(biāo)也相應(yīng)發(fā)生改變。

2、坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置特點(diǎn)

①、坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0);

②、第一象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y同號(hào)，均為正;

③、第二象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y異號(hào)，x為負(fù)，y為正;

④、第三象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y同號(hào)，均為負(fù);

⑤、第四象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y異號(hào)，x為正，y為負(fù);

⑥、橫軸(x軸)上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為0，即(x，0)，所以，橫軸也可寫作：y=0 (表示一條直線)

⑦、縱軸(y軸)上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為0，即(0，y),所以，縱橫也可寫作：x=0 (表示一條直線)

3、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離

坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值表示這點(diǎn)到縱軸(y軸)的距離，而縱坐標(biāo)的絕對(duì)值表示這點(diǎn)到橫軸(x軸)的距離。

注: ①、已知點(diǎn)的坐標(biāo)求距離，只有一個(gè)結(jié)果，但已知距離求坐標(biāo)，則因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)有正有負(fù)，可能有多個(gè)解的情況，應(yīng)注意不要丟解。

②、坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)之間的距離公式為：d = 根號(hào)下[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]

4、坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)

①、一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(a,-b),特點(diǎn)為：x不變，y相反;

②、一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(-a,b),特點(diǎn)為：y不變，x相反;

③、一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(-a,-b)，特點(diǎn)為：x、y均相反。

5、平行于坐標(biāo)軸的直線的表示

①、平行于橫軸(x軸)的直線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：y=a(a為縱坐標(biāo))的形式，a的絕對(duì)值表示這條直線到x軸的距離，直線上兩點(diǎn)之間的距離等于這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值;

②、平行于縱軸(y軸)的直線上的任意一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)不同，橫坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：x=b(b為橫坐標(biāo))的形式，b的絕對(duì)值表示這條直線到y(tǒng)軸的距離，直線上兩點(diǎn)之間的距離等于這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值。

6、象限角平分線的特點(diǎn)

①、第一、三象限的角平分線可表示為y=x的形式，即角平分線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)相等(同號(hào));

②、第二、四象限的角平分線可表示為y=-x的形式，即角平分線的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)(異號(hào))。

三、坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、求面積

①、已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)求三角形的面積

將坐標(biāo)平面上的三角形的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)圖形的面積的組合(相加)或分解(相減)，即將要求的三角形面積轉(zhuǎn)化為大的多邊形(如矩形、梯形)與一個(gè)或幾個(gè)較小的三角形面積之差;

②、已知多邊形各頂點(diǎn)坐標(biāo)求多邊形的面積

將坐標(biāo)平面上的多邊形的面積分割成幾個(gè)規(guī)則的圖形組合的面積之和，或轉(zhuǎn)化為一個(gè)更大的多邊形(例如矩形或梯形)與一個(gè)或幾個(gè)較小的三角形面積之差。

2、平移

①、點(diǎn)的平移

一個(gè)點(diǎn)左、右(水平)平移，橫坐標(biāo)改變，縱坐標(biāo)不變。具體為：向左平移幾個(gè)單位，則橫坐標(biāo)減少幾個(gè)單位;向右平移幾個(gè)單位，則橫坐標(biāo)增加幾個(gè)單位。“左減右加”

一個(gè)點(diǎn)上、下(豎直)平移，縱坐標(biāo)改變，橫坐標(biāo)不變。具體為：向下平移幾個(gè)單位，則縱坐標(biāo)減少幾個(gè)單位;向上平移幾個(gè)單位，則縱坐標(biāo)增加幾個(gè)單位。“下減上加”

②、圖形的平移

圖形是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，所以，圖形的平移實(shí)質(zhì)上就是點(diǎn)的平移。關(guān)鍵是把圖形的各個(gè)頂點(diǎn)按要求橫向或縱向平移，描出平移后的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，再連接全部對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)即可。

注：圖形平移后的新圖形與原圖形在形狀、大小方面是完全相同的，唯一改變的是原圖形的位置。

3、中點(diǎn)坐標(biāo)公式

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)M(a1,b1)、N(a2,b2)。

它們的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：((a1+a2)/2 ,(b1+b2)/2 )

一、坐標(biāo)

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸。

數(shù)軸上的點(diǎn)可以用一個(gè)數(shù)來表示，這個(gè)數(shù)叫這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)。

數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)(包括有理數(shù)與無理數(shù))一一對(duì)應(yīng)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。

2、平面直角坐標(biāo)系

由互相垂直、且原點(diǎn)重合的兩條數(shù)軸組成。

橫向(水平)方向的為橫軸(x軸)，縱向(豎直)方向的為縱軸(y軸)，平面直角坐標(biāo)系上的任一點(diǎn)，都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示位置，這對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)就叫這點(diǎn)的坐標(biāo)。

(即是用有順序的兩個(gè)數(shù)來表示，注：x在前，y在后，不能隨意更改)

坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的，每一個(gè)點(diǎn)，都有唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)與之對(duì)應(yīng)。

二、象限及坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)

1、四個(gè)象限

平面直角坐標(biāo)系把坐標(biāo)平面分成四個(gè)象限，從右上部分開始，按逆時(shí)針方向分別叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限(或第Ⅱ象限)、第三象限(第Ⅲ象限)和第四象限(或第Ⅳ象限)。

注：ⅰ、坐標(biāo)軸(x軸、y軸)上的點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限。例 點(diǎn)A(3，0)和點(diǎn)B(0，-5)

ⅱ、平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)發(fā)生改變，則點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)發(fā)生改變;坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度發(fā)生改變，點(diǎn)的坐標(biāo)也相應(yīng)發(fā)生改變。

2、坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置特點(diǎn)

①、坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0);

②、第一象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y同號(hào)，均為正;

③、第二象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y異號(hào)，x為負(fù)，y為正;

④、第三象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y同號(hào)，均為負(fù);

⑤、第四象限內(nèi)的點(diǎn)，x、y異號(hào)，x為正，y為負(fù);

⑥、橫軸(x軸)上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為0，即(x，0)，所以，橫軸也可寫作：y=0 (表示一條直線)

⑦、縱軸(y軸)上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為0，即(0，y),所以，縱橫也可寫作：x=0 (表示一條直線)

3、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離

坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值表示這點(diǎn)到縱軸(y軸)的距離，而縱坐標(biāo)的絕對(duì)值表示這點(diǎn)到橫軸(x軸)的距離。

注: ①、已知點(diǎn)的坐標(biāo)求距離，只有一個(gè)結(jié)果，但已知距離求坐標(biāo)，則因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)有正有負(fù)，可能有多個(gè)解的情況，應(yīng)注意不要丟解。

②、坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)之間的距離公式為：d = 根號(hào)下[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]

4、坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)

①、一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(a,-b),特點(diǎn)為：x不變，y相反;

②、一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(-a,b),特點(diǎn)為：y不變，x相反;

③、一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(-a,-b)，特點(diǎn)為：x、y均相反。

5、平行于坐標(biāo)軸的直線的表示

①、平行于橫軸(x軸)的直線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：y=a(a為縱坐標(biāo))的形式，a的絕對(duì)值表示這條直線到x軸的距離，直線上兩點(diǎn)之間的距離等于這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值;

②、平行于縱軸(y軸)的直線上的任意一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)不同，橫坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：x=b(b為橫坐標(biāo))的形式，b的絕對(duì)值表示這條直線到y(tǒng)軸的距離，直線上兩點(diǎn)之間的距離等于這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值。

6、象限角平分線的特點(diǎn)

①、第一、三象限的角平分線可表示為y=x的形式，即角平分線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)相等(同號(hào));

②、第二、四象限的角平分線可表示為y=-x的形式，即角平分線的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)(異號(hào))。

三、坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、求面積

①、已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)求三角形的面積

將坐標(biāo)平面上的三角形的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)圖形的面積的組合(相加)或分解(相減)，即將要求的三角形面積轉(zhuǎn)化為大的多邊形(如矩形、梯形)與一個(gè)或幾個(gè)較小的三角形面積之差;

②、已知多邊形各頂點(diǎn)坐標(biāo)求多邊形的面積

將坐標(biāo)平面上的多邊形的面積分割成幾個(gè)規(guī)則的圖形組合的面積之和，或轉(zhuǎn)化為一個(gè)更大的多邊形(例如矩形或梯形)與一個(gè)或幾個(gè)較小的三角形面積之差。

2、平移

①、點(diǎn)的平移

一個(gè)點(diǎn)左、右(水平)平移，橫坐標(biāo)改變，縱坐標(biāo)不變。具體為：向左平移幾個(gè)單位，則橫坐標(biāo)減少幾個(gè)單位;向右平移幾個(gè)單位，則橫坐標(biāo)增加幾個(gè)單位。“左減右加”

一個(gè)點(diǎn)上、下(豎直)平移，縱坐標(biāo)改變，橫坐標(biāo)不變。具體為：向下平移幾個(gè)單位，則縱坐標(biāo)減少幾個(gè)單位;向上平移幾個(gè)單位，則縱坐標(biāo)增加幾個(gè)單位。“下減上加”

②、圖形的平移

圖形是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，所以，圖形的平移實(shí)質(zhì)上就是點(diǎn)的平移。關(guān)鍵是把圖形的各個(gè)頂點(diǎn)按要求橫向或縱向平移，描出平移后的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，再連接全部對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)即可。

注：圖形平移后的新圖形與原圖形在形狀、大小方面是完全相同的，唯一改變的是原圖形的位置。

3、中點(diǎn)坐標(biāo)公式

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)M(a1,b1)、N(a2,b2)。

它們的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：((a1+a2)/2 ,(b1+b2)/2 )

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